Коэффициент корреляции: межсерийные зависимости

Коэффициент корреляции Пирсона (r) является мерой линейной статистической зависимости между двумя случайными величинами X и Y. Формально: r = Cov(X, Y) / (σ_X · σ_Y) = (E[XY] − E[X]·E[Y]) / (√(D[X])·√(D[Y])), где r ∈ [−1, 1]. Значение r = 0 указывает на отсутствие линейной зависимости (но не обязательно на независимость), |r| = 1 — на функциональную линейную связь. Выборочный коэффициент корреляции r̂ = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) / √(Σ(xᵢ − x̄)²·Σ(yᵢ − ȳ)²) является состоятельной оценкой теоретического ρ и асимптотически нормален.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена (ρ_s) измеряет монотонную (не обязательно линейную) зависимость между переменными. Вычисление основано на рангах наблюдений: ρ_s = 1 − 6·Σdᵢ² / (n·(n² − 1)), где dᵢ = rg(xᵢ) − rg(yᵢ) — разность рангов. Преимущество Спирмена перед Пирсоном заключается в устойчивости к выбросам и применимости к нелинейным монотонным зависимостям. Для тестирования значимости ρ_s используется t-статистика: t = ρ_s·√((n − 2)/(1 − ρ_s²)) с (n − 2) степенями свободы, при условии n ≥ 10.

Автокорреляционная функция (ACF) является инструментом обнаружения зависимостей между элементами одной временной последовательности при различных лагах (смещениях). ACF определяется как r(k) = Cov(Xₜ, Xₜ₊ₖ) / D[X] = (E[Xₜ·Xₜ₊ₖ] − μ²) / σ², где k — лаг. Для истинно случайной последовательности r(k) = 0 при k ≠ 0. Статистически значимые ненулевые автокорреляции указывают на наличие паттернов или дефектов генератора. Границы значимости определяются как ±z_{α/2}/√n (формула Бартлетта), где n — длина последовательности. Коррелограмма — графическое представление ACF для k = 1, 2, ..., K — является стандартным инструментом диагностики.

Лаг-анализ позволяет выявить периодические структуры и скрытые зависимости в последовательности исходов. Частичная автокорреляционная функция (PACF) устраняет влияние промежуточных лагов: PACF(k) = Corr(Xₜ, Xₜ₊ₖ | Xₜ₊₁, ..., Xₜ₊ₖ₋₁), что позволяет определить порядок авторегрессионной модели AR(p). Тест Льюнга-Бокса проверяет глобальную гипотезу об отсутствии автокорреляций на лагах 1, ..., m: Q = n·(n + 2)·Σₖ₌₁ᵐ r²(k)/(n − k), где Q ~ χ²(m) при H₀. Обнаружение значимых автокорреляций в последовательности исходов сертифицированного генератора является критическим индикатором нарушения криптографической стойкости.