Сессионная дисперсия: краткосрочная волатильность

Сессионная дисперсия характеризует разброс результатов в рамках ограниченной серии итераций (сессии) и является ключевым параметром для оценки краткосрочных рисков. В отличие от долгосрочной дисперсии, сессионная дисперсия существенно зависит от объёма выборки n и может значительно отклоняться от теоретического значения. Для сессии из n итераций с математическим ожиданием единичной итерации μ и дисперсией σ² математическое ожидание суммарного результата равно n·μ, а дисперсия суммы — n·σ² (для независимых итераций). Стандартное отклонение суммарного результата σ_sum = σ·√n растёт медленнее, чем ожидаемый результат n·μ, что обеспечивает стабилизацию относительного отклонения при увеличении n.

Влияние объёма выборки на надёжность оценки сессионной дисперсии описывается распределением χ² (хи-квадрат). Выборочная дисперсия s² = Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1) удовлетворяет соотношению (n − 1)·s²/σ² ~ χ²(n − 1). Доверительный интервал для дисперсии: [(n − 1)·s²/χ²_{α/2,n−1}, (n − 1)·s²/χ²_{1−α/2,n−1}]. Для малых выборок (n < 30) этот интервал чрезвычайно широк, что делает оценку дисперсии ненадёжной. Например, при n = 20 и α = 0.05 ширина 95%-ного доверительного интервала для σ² составляет примерно [0.58σ², 2.11σ²], то есть истинная дисперсия может отличаться от оценённой в 2–3 раза.

Для повышения надёжности оценки сессионной дисперсии применяются методы робастной статистики и ресемплинга. Бутстреп-метод позволяет оценить распределение выборочной дисперсии без предположений о параметрическом виде исходного распределения: генерируется B ≥ 1000 повторных выборок с возвращением, для каждой вычисляется s²_b, и строится эмпирическое распределение оценки дисперсии. Перцентильный доверительный интервал [s²_{(α/2)}, s²_{(1−α/2)}] обеспечивает корректное покрытие даже для тяжелохвостых распределений. Альтернативно применяются оценки Winsorized variance и trimmed variance, устойчивые к выбросам.

Практический анализ сессионной дисперсии включает сравнение наблюдаемого отклонения с теоретически ожидаемым для выявления аномалий. Z-скор сессии вычисляется как Z = (S − n·μ) / (σ·√n), где S — суммарный результат сессии. Для нормально распределённых сумм (при достаточном n по ЦПТ) значения |Z| > 2.576 (α = 0.01) указывают на статистически значимое отклонение. Однако необходимо учитывать эффект множественных сравнений: при анализе m сессий вероятность ложноположительного срабатывания возрастает до 1 − (1 − α)ᵐ. Поправка Бонферрони (α_adj = α/m) или метод Бенджамини-Хохберга (FDR) позволяют контролировать частоту ложных срабатываний.