Волатильность: классификация и индексы дисперсии

Волатильность в контексте аналитических систем определяется как мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Формально волатильность связана с дисперсией D[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − (E[X])², где μ = E[X] — математическое ожидание. В отличие от финансовых рынков, где волатильность измеряется как стандартное отклонение логарифмических доходностей, в системах дискретных исходов применяется прямой расчёт дисперсии по таблице выплат. Волатильность является ключевым параметром, определяющим характер краткосрочных отклонений от ожидаемого значения.

Классификация волатильности предполагает разделение систем на категории: низкая (σ/μ < 3), средняя (3 ≤ σ/μ < 8), высокая (8 ≤ σ/μ < 15) и экстремальная (σ/μ ≥ 15), где σ/μ — коэффициент вариации. Индекс волатильности (VI) рассчитывается как нормированный показатель, учитывающий не только дисперсию, но и асимметрию (skewness) и эксцесс (kurtosis) распределения. Формула индекса: VI = w₁·CV + w₂·|γ₁| + w₃·(γ₂ − 3), где CV — коэффициент вариации, γ₁ — коэффициент асимметрии, γ₂ — эксцесс, wᵢ — нормировочные весовые коэффициенты. Такая многомерная классификация позволяет более точно характеризовать профиль риска системы.

Различие между дисперсией (variance) и волатильностью (volatility) имеет принципиальное значение для корректной интерпретации результатов. Дисперсия — это строго определённая статистическая мера второго центрального момента распределения, измеряемая в квадрате единиц исходной величины. Волатильность, напротив, является более широким понятием, включающим не только дисперсию, но и характеристики хвостов распределения. Для тяжелохвостых распределений (heavy-tailed), характерных для систем с редкими крупными множителями, стандартная дисперсия может быть неинформативна, и применяются альтернативные метрики: MAD (медианное абсолютное отклонение) или CVaR (условная стоимость под риском).

Расчёт индекса дисперсии для конкретной системы осуществляется на основе полной таблицы выплат с учётом вероятностей каждого исхода. Алгоритм включает следующие шаги: (1) вычисление математического ожидания μ = Σpᵢmᵢ; (2) расчёт второго момента E[X²] = Σpᵢmᵢ²; (3) определение дисперсии D = E[X²] − μ²; (4) вычисление стандартного отклонения σ = √D; (5) расчёт коэффициента вариации CV = σ/μ. Для верификации теоретического расчёта проводится сравнение с эмпирической дисперсией, полученной методом Монте-Карло на выборке объёмом не менее 10⁷ итераций.